Lineare Algebra Beispiele

$7 x^{2} + 3 = 8 x$

Schritt 1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{2} + 3 - 8 x = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 7$ , $b = - 8$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 84}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $84$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 84}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $84$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 84}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $84$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + i \sqrt{5}}{7}, \frac{4 - i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 8

Die Definitionsmenge ist die Menge aller gültigen $x$ -Werte.

${x | x = \frac{4 + i \sqrt{5}}{7}, \frac{4 - i \sqrt{5}}{7}}$

Schritt 9